Нет договора - нет возможности цивилизованно решать разногласия. Трудовые отношения возникли, но не оформлены. В случае конфликта неловко будут чувствовать себя обе стороны, но работник в большей степени.
Но сам договор, подписанный второй стороной, у меня ...