Я думаю между понятиями "организация" и "ведение" существует разница. Вот в Вашем случае,ген. дир. ответственный за организацию, соответственно он может назначить бухгалтера, который будет отвечать за "ведение"
мне кажется тут решение ни к чему, т.к. и в уставе и в договоре написано что автоматическая пролонгация. Да и за чем трудовой договор обновлять, не надо с ним ничего делать, просто автоматическая пролонгация до момента выбора другого директора. Соответственно получается трудовой договор на неопределенный срок.